Будущий актер родился в семье врача и домохозяйки. Помимо будущего актера в семье было два старших ребенка, воспитанием которых занималась мать. Семья жила в столице, но на время курортного сезона пребывала в Геленджике, где отец Олега работал в прибережной зоне.
Подростковый возраст Олега был омрачен войной. Со своей мамой и братьями Олег пару лет находился в эвакуации, после чего его отец был комиссован в связи с ранением и забрал всех назад в Москву. Был случай, когда будущий актер во время игры с друзьями нашел гранату и взял её. Граната взорвалась в руках.
Чудесным образом парень смог выжить, однако очень долго находился в клинике. Врачи не смогли помочь восстановить правую руку. Эта травма не давала актеру спокойно жить.
Это ранение чуть не поставило крест на всех мечтах Олега Анофриева. Он с детства занимался в драмкружке и обладал вокальными данными, а получив аттестат, отправился штурмовать Школу-студию МХАТ. Здесь ему едва не отказали из-за искалеченной руки: пришлось долго убеждать комиссию, что травма не помешает добиться успеха в актёрской профессии. Олегу удалось произвести впечатление на педагогов и вскоре он пополнил ряды счастливых студентов.
После выпуска Анофриев был направлен по распределению в Центральный детский театр, однако ярких ролей на этой сцене начинающий актёр так и не получил. Первый успех пришёл к Олегу, когда его пригласили в Театр имени Маяковского и утвердили на роль Василия Тёркина в одноимённой постановке. Спектакль произвёл фурор не только на родине, но и за рубежом — во время гастролей в Болгарии актёру даже присвоили звание почётного гражданина города Русе.
В то же время Олег Анофриев дебютировал на киноэкране. Публика полюбила его после роли Савушкина в комедии «Девушка с гитарой», где прозвучала песня «Если сердце надеждой полно…» в исполнении актёра. Затем последовали ленты «Коллеги», «Сказка о потерянном времени», «Автомобиль, скрипка и собака Клякса», «Под крышами Монмартра», «Будьте моим мужем», «Там, на неведомых дорожках…», «После дождичка в четверг».
Во многих лентах Анофриев не только играл роли, но и выступал в качестве композитора или вокалиста. А особую популярность обрела в его исполнении песня «Есть только миг» из кинофильма «Земля Санникова».
Уникальный голос Олега Анофриева нашёл широкое применение в озвучивании мультфильмов. Одним из главных детищ актёра стала музыкальная анимационная лента «Бременские музыканты», в которой Олег Андреевич озвучил почти всех персонажей — от Трубадура до Атаманши, а также написал и исполнил ставшие хитами композиции — «Песня королевской охраны», «Ничего на свете лучше нету», «Песня разбойников», «Говорят, мы бяки-буки», «Куда ты, тропинка, меня привела?».
В начале 90-х Олег Анофриев дебютировал в качестве кинорежиссёра, сняв фильм «Быть влюблённым» с Галиной Польских, Светланой Немоляевой и Александром Лазаревым в главных ролях. В этом проекте актёр был сценаристом, режиссёром и композитором, однако лента не окупилась в прокате. В карьере Анофриева наступили трудные времена: он почти не снимался в кино, продал московскую квартиру и переехал в деревню.
За годы простоя актёр написал книгу «Солдат и балерина», где были собраны стихи и тексты песен его сочинения, а также воспоминания об актёрах, режиссёрах, исполнителях, с которыми ему довелось работать.
В жизни артиста была лишь одна любимая женщина, с которой он прожил больше шестидесяти лет. С врачом Натальей Отливщиковой он познакомился во время отдыха на море — обстоятельства той судьбоносной встречи актёр описал в своём рассказе «Любовь-тоска». Они поженились в 1955 году, а вскоре на свет появилась дочь Мария. Она пошла по стопам матери и стала врачом, а родителям подарила трёх внучек.
Однако больше всего Олег Анофриев радовался появлению на свет правнука — первого мальчика в роду за восемьдесят лет. Наследника назвали Олегом в честь знаменитого деда, а сам актёр написал по этому поводу стихотворение: «От Олега до Олега ровно 80 лет».
На протяжении всей жизни Олег Анофриев страдал от ишемической болезни сердца. Первый инфаркт он перенёс ещё в 35 лет — тогда актёру сделали аортокоронарное шунтирование и он смог восстановиться. Олег Анофриев дожил до преклонного возраста — он скончался в 87 лет.
В память об актёре его именем была названа одна из улиц в Геленджике, а к 90-летию со дня рождения на его могиле установили памятник в виде грампластинки работы художника Александра Балаяна.
