Он появился на свет 4 февраля 1933 года в семье доктора химических наук Владимира Ильича и сурдопедагога-дефектолога Доры Захаровны. В годы войны отец мальчика попал в немецкий плен и был расстрелян. Мать с двумя детьми оказалась в эвакуации в Сибири.
Именно здесь маленький Игорь впервые почувствовал себя актёром: вышел на сцену в постановке сказки «Морозко», которую с аншлагом играли в местном театре и в военном госпитале перед ранеными бойцами. С тех пор мальчик буквально грезил театром и твёрдо решил связать свою жизнь с искусством…
Вернувшись с Москву из эвакуации, семья обосновалась в самом сердце столицы. В школу Игорь ходил на Арбате, правда уроки его не слишком занимали. Парень рос настоящим хулиганом: дрался, взрывал петарды, прогуливал занятия. После седьмого класса юноша окончательно забросил учёбу.
Отныне всё своё время он проводил в театральной студии при Дворце пионеров, где царила творческая атмосфера и загорались многие будущие звёзды — Ролан Быков, Владимир Андреев, Виктор Соколов, Борис Рыцарев, Лев Круглый.
С трудом получив школьный аттестат, юный Игорь не раздумывая отправился поступать в Школу-студию МХАТ. Здесь талантливого абитуриента приняли с распростёртыми объятиями и спустя четыре года он пополнил ряды выпускников легендарного училища. Вскоре начинающего актёра пригласили в труппу МХАТа имени Горького, но этой сцене он отдал всего два года. Уже тогда педагог Кваши Олег Ефремов раздумывал о создании собственного театра.
«Современник» открыл двери в 1957 году, и Игорь Кваша оказался в числе первых актёров и основателей нового театра. Он служил здесь с момента открытия и до самой своей смерти, исполнил на сцене больше полусотни ролей и именно здесь попробовал себя в качестве режиссёра: поставил спектакли «Дни Турбиных», «Сирано де Бержерак», «Кот домашний средней пушистости».
Дебют Игоря Кваши на киноэкране состоялся, когда актёру было уже за тридцать: он появился в небольшой роли в военной драме «В трудный час». Впоследствии ему часто предлагали перевоплощаться в известных исторических личностей: он сыграл Карла Маркса в ленте «Год, как жизнь», Якова Свердлова в многосерийном фильме «Штрихи к портрету В. И. Ленина», многим позже воплотил на экране образ Сталина в картине «Под знаком Скорпиона».
Однако зрители полюбили актёра в ярких комедийных ролях: лейтенанта Тавернье из «Соломенной шляпки», бургомистра из «Того самого Мюнхгаузена», пастора из «Человека с бульвара Капуцинов». Свою последнюю роль Игорь Кваша исполнил незадолго до смерти — сыграл публициста Илью Эренбурга в документальном фильме «Глаз божий».
Помимо театра и кино Игорь Кваша много времени уделял работе на радио. Актёр создал цикл радиопередач, где читал стихи, поэмы и романы известных авторов. А делом всей жизни для Кваши стала телепрограмма «Жди меня», главной целью которой были поиски потерявшихся людей.
На протяжении многих лет Игорь Кваша являлся бессменным ведущим передачи, пропуская через себя историю каждого героя. Даже будучи тяжело больным, актёр не мог позволить себе сорвать съёмки, ведь от него зависели судьбы людей.
С первой женой Игорь Кваша познакомился ещё в театральной студии при Доме Пионеров. Талантливая и харизматичная Светлана Мизери тоже сумела поступить в Школу-студию МХАТ и впоследствии стала одной из ведущих актрис «Современника». Они поженились ещё на первом курсе института, однако построить крепкий быт молодожёнам не удалось — каждый стремился добиться успехов в карьере, а семья постепенно отошла на второй план.
Светлана впоследствии вышла замуж ещё дважды: в браке с Михаилом Зиминым у неё родилась дочь, будущая актриса Мария Зимина, а последним избранником Мизери стал актёр Игорь Сиренко.
Игорь Кваша же своё счастье обрёл во втором браке. С врачом-рентгенологом Татьяной Путиевской его познакомила Галина Волчек на отдыхе в Крыму. Очаровательная девушка с детства вращалась в творческих кругах: её отцом был художник театра и кино Семён Мандель, отчимом — писатель Александр Штейн, братом — режиссёр Пётр Штейн. Курортный роман быстро перерос в серьёзное чувство: едва вернувшись в Москву, Кваша сделал возлюбленной предложение прямо в метро.
Они прожили вместе больше полувека и воспитали сына Владимира, который окончил медицинский вуз, но впоследствии посвятил себя бизнесу и подарил родителям любимых внуков — Анастасию и Михаила.
Игорь Кваша продолжал сниматься в кино, играть в театре и работать на телевидении, даже когда его здоровье совсем ухудшилось. В последние годы актёр боролся с тяжёлым заболеванием — хронической обструктивной болезнью лёгких, и даже пережил несколько операций, однако вылечить его медики так и не смогли. Игорь Кваша скончался на 80-м году жизни от осложнения болезни. Проститься с любимым актёром в родной «Современник» пришли тысячи поклонников.
