После такого пиршества врачи с трудом выходили будущего актёра, но обмен веществ был испорчен навсегда. Уже в 25 лет у Моргунова диагностировали сахарный диабет от которого от страдал всю оставшуюся жизнь — из стройного обаятельного молодого человека с роскошной шевелюрой и голубыми глазами он начал стремительно превращаться в тучного лысеющего мужчину, каким впоследствии и запомнился зрителям.
Он с детства участвовал в художественной самодеятельности, а вместо школы частенько заглядывал в кинотеатр, где с интересом смотрел всё подряд. Он и сам мечтал появиться на экране в главной роли и однажды даже попал в массовку на «Мосфильме», но директор завода никак не хотел навсегда отпускать рукастого Евгения со своего рабочего места.
Тогда Моргунов решился на смелый поступок: написал письмо на имя самого Иосифа Сталина с просьбой зачислить его в театральное училище. Спустя две недели на адрес завода поступил ответ: выдать работнику расчёт и принять его в училище при Камерном театре. Так Евгений Моргунов впервые вышел на большую сцену.
Однако главных ролей не дождался. Спустя год он решил попытать счастья ещё раз — подал документы во ВГИК и с первого раза был зачислен на курс Сергея Герасимова. Однокурсниками Моргунова стал многие известные в будущем актёры, путь которых в кино начался благодаря ленте «Молодая гвардия», куда наставник Герасимов пригласил своих студентов.
Евгения Моргунова режиссёр видел в роли Сергея Тюленина, но автор романа Александр Фадеев настоял на кандидатуре Сергея Гурзо. В результате Моргунову досталась роль предателя Стаховича, причём этот образ настолько запомнился зрителям, что однажды актёра на улице окружили мальчишки и попытались сдать в милицию. Уже позже выяснилось, что в реальности Стахович на предавал молодогвардейцев — тогда эпизоды с Моргуновым вырезали.
После этого в кинокарьере Евгения Моргунова наступило затишье. Он продолжал сниматься, но часто его имя даже не попадало в титры. Всё изменилось, когда судьба свела актёра с Леонидом Гайдаем, который готовился снимать короткометражку «Пёс Барбос и необычный кросс».
Изначально на роль Бывалого режиссёр планировал пригласить Михаила Жарова или Ивана Любезнова, а кандидатуру Моргунова режиссёру порекомендовал знаменитый Иван Пырьев. На съёмках этого фильма на экране впервые появилась троица Трус-Балбес-Бывалый, которая впоследствии перекочевала в новые фильмы Гайдая.
В актёрских кругах Евгений Моргунов был известен прежде всего своим непростым характером и отрицанием любых авторитетов. На съёмках «Кавказской пленницы» в Крыму поведение актёра окончательно вышло из под контроля: он мог внезапно уйти в неизвестном направлении, а однажды заявился на площадку в сопровождении поклонниц.
Когда Гайдай попросил всех посторонних покинуть место съёмок, Моргунов бросился на режиссёра с кулаками. Это стало последней каплей. Доснимали картину уже без актёра — его в кадре подменял похожий по телосложению дублёр.
Как бы там ни было, именно роль Бывалого стала визитной карточкой Евгения Моргунова. Позже он появился в этом образе в лентах «Дайте жалобную книгу», «Сказки русского леса», «Семь стариков и одна девушка», «Комедия давно минувших дней».
На волне популярности Моргунов пытался попробовать силы в режиссуре и снял короткометражку «Когда казаки плачут» по мотивам рассказов Шолохова, но лента осталась незамеченной. Одним из последних ярких киногероев в исполнении Евгения Моргунова стал поэт Соев из комедии «Покровские ворота». В 90-е годы актёр не перестал сниматься, но достойных ролей ему больше не предлагали.
Первые серьёзные отношения случились у Евгения Моргунова с балериной Большого театра Варварой Рябцевой, которая была старше на тринадцать лет. Несмотря на разницу в возрасте, они прожили вместе десять лет, но в конце концов всё же разошлись. Тогда в жизни актёра появилась студентка МАТИ по имени Наталья.
По иронии судьбы на этот раз девушка была младше на тринадцать лет. Их знакомство началось с розыгрыша: Евгений узнал телефон Наташи от её подруги и несколько раз звонил девушке, представляясь сотрудником научной кафедры университета. Лишь спустя несколько душевных разговоров актёр наконец раскрыл свою настоящую личность и пригласил собеседницу на свидание.
Они прожили вместе больше тридцати лет и воспитали двоих сыновей — Антона и Николая. Супруга была рядом с актёром в самые трудные минуты и заботилась о его здоровье. В последние годы Моргунов буквально ходил под ножом из-за осложнений диабета, врачи настаивали на ампутации ног, но благодаря поддержке жены удалось обойтись без крайних мер.
Тяжёлым ударом для всей семьи стала смерть 25-летнего Николая в автокатастрофе: парень всегда любил скорость, так что аккуратный отец не мог находиться с ним в одной машине. Гибель сына подкосила Евгения Моргунова — он перенёс несколько инфарктов и инсультов, и в результате сердце остановилось навсегда.
72-летнего актёра похоронили рядом со свежей могилой сына на Кунцевском кладбище и поставили им общий памятник. Вдова Наталья Моргунова ушла из жизни в 2021 году после продолжительной болезни, а спустя ещё два месяца от остановки сердца в возрасте 55 лет скончался старший сын Антон.
